PELUANG

• Kaidah Pencacahan, Permutasi dan Kombinasi
  1. Kaidah Pencacahan
     Apabila peristiwa pertama dapat terjadi dalam p cara berbeda, peristiwa kedua q cara berbeda, peristiwa ketiga r cara berbeda, dan seterusnya, maka banyaknya cara yang berbeda terhadap rangkaian berurutan seperti itu adalah = p x q r x ..
  2. Faktorial
     Perkalian n bilangan asli pertama disebut n faktorial, dinotasikan dengan n!
     n! = 1 x 2 x 3 x 4 x …. x (n – 1) x n
     atau n! = n x (n – 1) x (n – 2) x ….. x 4 x 3 x 2 x 1
  3. Permutasi
     Cara menempatkan n buah unsur ke dalam r tempat yang tersedia dengan urutan diperhatikan disebut permutasi r unsur dari n unsur(r &#8804 n) yang dinotasikan dengan _nP_r atau P(n,r) atau atau P_n,r
  • Banyaknya permutasi n unsur berbeda disusun n unsur(seluruhnya) adalah : P = n!
  • Banyaknya Permutasi yang dapat disusun dari n anggota suatu himpunan diambil r unsur anggota pada satu saat adalah :
    
  • Banyaknya permutasi jika ada beberapa elemen/unsur yang sama adalah :
    
  • Banyaknya permutasi siklis adalah permutasi yang disusun secara melingkar dengan memperhatikan urutannya(arah putarannya) adalah :
    P = (n – 1)!
  4. Kombinasi
     Cara menempatkan n buah unsur ke dalam r tempat yang tersedia dengan urutan tidak diperhatikan
     disebut Kombinasi r unsur dari n unsur(r ≤ n) yang dinotasikan dengan _nC_r atau C(n,r) atau atau C_n,r
     Kombinasi n unsur berbeda disusun r unsur dirumuskan :
     
  5. Binomial Newton
     
• Peluang Suatu Kejadian
1. Dalam suatu percobaan :
   • Semua hasil yang mungkin disebut ruang sampel
   • Setiap anggota dalam ruang sampel disebut titik sampel
   • Hasil yang diharapkan disebut kejadian
2. Definisi Peluang
   Peluang kejadian A dinotasikan dengan P(A) adalah perbandingan banyaknya hasil kejadian A dinotasikan n(A)
   terhadap banyaknya semua hasil yang mungkin dinotasikan dengan n(S) dalam suatu percobaan.
   Kisaran nilai peluang suatu kejadian A adalah 0 ≤ P(A) ≤ 1.
   Jika P(A) = 0 disebut kemustahilan dan P(A) = 1 disebut kepastian
3. Frekuensi Harapan
   Frekuensi Harapan kejadian A adalah banyaknya kejadian A yang diharapkan dalam beberapa kali percobaan
   Jika percobaan dilakukan sebanyak n kali maka frekuensi harapan kejadian A dirumuskan : F_h(A) = n x P(A)
4. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
   Jika A^c kejadian selain A, maka P(A)^c = 1 – P(A) atau
   P(A)^c + P(A) = 1
   P(A)^c = peluang komplemen kejadian A atau peluang kejadian selain kejadian A
• Kejadian Majemuk
1. Untuk sembarang kejadian A atau B berlaku :
2. Peluang dua Kejadian saling lepas(asing)
   Jika maka dua kejadian tersebut merupakan dua kejadian saling lepas artinya bila terjadi A tidak mungkin terjadi B.
   Besarnya peluang dua kejadian saling lepas(asing) adalah :
3. Peluang dua kejadian saling bebas
   Bila kejadian A tidak mempengaruhi terjadinya B dan sebaliknya, maka kejadian semacam ini disebut dua kejadian saling bebas
   Peluang dua kejadian saling bebas dirumuskan :
4. Peluang dua kejadian tak bebas(bersyarat/bergantungan)
   Apabila kejadian kedua(B) adalah kejadian setelah terjadinya kejadian pertama A, dinotasikan (B/A),
   maka dua kejadian tersebut merupakan dua kejadian tak bebas(bersyarat)
   Peluang dua kejadian tak bebas dirumuskan : 

 Contoh soal :
1. Dari seperangkat kartu dilakukan pengambilan secara acak sebanyak 260kali dan setiap kali pengambilan kartu dikembalikan,berapa frekwensi harapan yangterambil kartu as?

a.5kali               c.40 kali

b.20kali             d.60kali

A=muncul kartu as

A={as  as  as  as  }

N=260 kali

P(a)=

      =

      =

f(h)=p(a)Xn

      = x260

      =20

Jadi frekwensi harapan tersebut adalah 20
2. Dari 7 orang perwakilan kelas dipilih ketua, sekretaris dan bendahara. Banyak kemungkinan yang terjadi dengan tidak ada jabatan rangkap adalah?

Jawaban : 

Misalkan 7 orang adalah A , B , C , D , E , F , G

Apabila : A sebagai ketua , B sebagai sekretaris , C sebagai bendahara. Akan berbeda apabila : A sebagai sekretaris , B sebagai bendahara , C sebagai ketua,

3. Jika suatu dadu dan sekeping uang dilempar undi satu kali bersama, maka peluang untuk memperoleh gambar pada mata uang dan bilangan ganjil pada dadu adalah?

Jawab :

n(A) = Banyaknya kemungkinan kejadian A

n(S) = Banyaknya kemungkinan kejadian sampel
*banyaknya kejadian sample :

A = Angka
G = Gambar





n(S) = banyaknya kemungkinan kejadian sample = 12
*Banyaknya kemungkinan kejadian A (Gambar dan bilangan ganjil) diatas, didapat (G,1) ; (G,3) ; (G,5) = n(A) = 3. Sehingga peluang kejadiannya

4. Peluang siswa sekolah A dan sekolah B lulus UN berturut-turut adalah 0.99 dan 0.98. Peluang siswa sekolah A dan siswa sekolah B tidak lulus UN adalah?

Jawab :

Ini merupakan 2 kejadian : kejadian 1 => siswa sekolah A lulus = P(A lulus)

                               kejadian 2 => siswa sekolah B tidak lulus = P(B tidak lulus)

Ditanya : Peluang siswa sekolah A dan siswa sekolah B tidak lulus.

Diketahui : P(A lulus) = 0.99

       P(B lulus) = 0.98

5. Berapa kemungkinan yang terjadi apabila dari 10 orang anak akan diambil sebagai pemain futsal?

Jawab :
Pemain futsal = 5 orang ; n = 10
Jawabannya menggunakan rumus kombinasi karena 1 orang mewakili 1 kemungkinan saja.