- Kaidah Pencacahan, Permutasi dan Kombinasi
- Kaidah Pencacahan
Apabila peristiwa pertama dapat terjadi dalam p cara berbeda, peristiwa kedua q cara berbeda, peristiwa ketiga r cara berbeda, dan seterusnya, maka banyaknya cara yang berbeda terhadap rangkaian berurutan seperti itu adalah = p x q r x .. - Faktorial
Perkalian n bilangan asli pertama disebut n faktorial, dinotasikan dengan n!
n! = 1 x 2 x 3 x 4 x …. x (n – 1) x n
atau n! = n x (n – 1) x (n – 2) x ….. x 4 x 3 x 2 x 1 - Permutasi
Cara menempatkan n buah unsur ke dalam r tempat yang tersedia dengan urutan diperhatikan disebut permutasi r unsur dari n unsur(r ≤ n) yang dinotasikan dengan nPr atau P(n,r) atauatau Pn,r
- Banyaknya permutasi n unsur berbeda disusun n unsur(seluruhnya) adalah : P = n!
- Banyaknya Permutasi yang dapat disusun dari n anggota suatu himpunan diambil r unsur anggota pada satu saat adalah :
- Banyaknya permutasi jika ada beberapa elemen/unsur yang sama adalah :
- Banyaknya permutasi siklis adalah permutasi yang disusun secara
melingkar dengan memperhatikan urutannya(arah putarannya) adalah :
P = (n – 1)! - Kombinasi
Cara menempatkan n buah unsur ke dalam r tempat yang tersedia dengan urutan tidak diperhatikan
disebut Kombinasi r unsur dari n unsur(r ≤ n) yang dinotasikan dengan nCr atau C(n,r) atauatau Cn,r
Kombinasi n unsur berbeda disusun r unsur dirumuskan :
- Binomial Newton
- Kaidah Pencacahan
- Peluang Suatu Kejadian
- Dalam suatu percobaan :
- Semua hasil yang mungkin disebut ruang sampel
- Setiap anggota dalam ruang sampel disebut titik sampel
- Hasil yang diharapkan disebut kejadian
- Definisi Peluang
Peluang kejadian A dinotasikan dengan P(A) adalah perbandingan banyaknya hasil kejadian A dinotasikan n(A)
terhadap banyaknya semua hasil yang mungkin dinotasikan dengan n(S) dalam suatu percobaan.
Kisaran nilai peluang suatu kejadian A adalah 0 ≤ P(A) ≤ 1.
Jika P(A) = 0 disebut kemustahilan dan P(A) = 1 disebut kepastian - Frekuensi Harapan
Frekuensi Harapan kejadian A adalah banyaknya kejadian A yang diharapkan dalam beberapa kali percobaan
Jika percobaan dilakukan sebanyak n kali maka frekuensi harapan kejadian A dirumuskan : Fh(A) = n x P(A) - Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Jika Ac kejadian selain A, maka P(A)c = 1 – P(A) atau
P(A)c + P(A) = 1
P(A)c = peluang komplemen kejadian A atau peluang kejadian selain kejadian A - Kejadian Majemuk
- Untuk sembarang kejadian A atau B berlaku :
- Peluang dua Kejadian saling lepas(asing)
Jikamaka dua kejadian tersebut merupakan dua kejadian saling lepas artinya bila terjadi A tidak mungkin terjadi B.
Besarnya peluang dua kejadian saling lepas(asing) adalah : - Peluang dua kejadian saling bebas
Bila kejadian A tidak mempengaruhi terjadinya B dan sebaliknya, maka kejadian semacam ini disebut dua kejadian saling bebas
Peluang dua kejadian saling bebas dirumuskan : - Peluang dua kejadian tak bebas(bersyarat/bergantungan)
Apabila kejadian kedua(B) adalah kejadian setelah terjadinya kejadian pertama A, dinotasikan (B/A),
maka dua kejadian tersebut merupakan dua kejadian tak bebas(bersyarat)
Peluang dua kejadian tak bebas dirumuskan :
Contoh soal :
1. Dari seperangkat kartu dilakukan pengambilan secara acak sebanyak 260kali dan setiap kali pengambilan kartu dikembalikan,berapa frekwensi harapan yangterambil kartu as?
a.5kali c.40 kali
b.20kali d.60kali
A=muncul kartu as
A={as
as as as }
N=260 kali
P(a)=
=
=
f(h)=p(a)Xn
=
x260
=20
Jadi frekwensi harapan tersebut adalah 202. Dari 7 orang perwakilan kelas dipilih ketua, sekretaris dan bendahara. Banyak kemungkinan yang terjadi dengan tidak ada jabatan rangkap adalah?
Jawaban :
Misalkan 7 orang adalah A , B , C , D , E , F , G
Apabila : A
sebagai ketua , B sebagai sekretaris , C sebagai bendahara. Akan berbeda
apabila : A sebagai sekretaris , B sebagai bendahara , C sebagai ketua,
3. Jika suatu dadu dan sekeping uang dilempar undi satu kali bersama, maka peluang untuk memperoleh gambar pada mata uang dan bilangan ganjil pada dadu adalah?
Jawab :
n(A) = Banyaknya kemungkinan kejadian A
*banyaknya kejadian sample :
G = Gambar
n(S) = banyaknya kemungkinan kejadian sample = 12
*Banyaknya kemungkinan kejadian A (Gambar dan bilangan ganjil) diatas, didapat (G,1) ; (G,3) ; (G,5) = n(A) = 3. Sehingga peluang kejadiannya
4. Peluang siswa sekolah A dan sekolah B lulus UN berturut-turut adalah 0.99 dan 0.98. Peluang siswa sekolah A dan siswa sekolah B tidak lulus UN adalah?
Jawab :
Ini merupakan 2 kejadian : kejadian 1 => siswa sekolah A lulus = P(A lulus)
kejadian 2 => siswa sekolah B tidak lulus = P(B tidak lulus)Ditanya : Peluang siswa sekolah A dan siswa sekolah B tidak lulus.
Diketahui : P(A lulus) = 0.99
P(B lulus) = 0.98
5. Berapa kemungkinan yang terjadi apabila dari 10 orang anak akan diambil sebagai pemain futsal?
Jawab :
Pemain futsal = 5 orang ; n = 10
Jawabannya menggunakan rumus kombinasi karena 1 orang mewakili 1 kemungkinan saja.
